РЕШУ ЦТ — математика

Уравнения с модулем

1.  Задание № 1147 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2018

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.3\. Квадратные уравнения, 3\.15\. Уравнения указанных типов, содержащие модуль

Уравнения с модулем

Найдите произведение наибольшего решения на количество решений уравнения $|x в квадрате минус 4|x| минус 1|=0,5 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка .$

Решение. Решим уравнение, раскрыв модуль. Имеем:

$равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 4|x| минус 5=0,x в квадрате минус 4|x| плюс 3=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений совокупность выражений x в квадрате минус 4x минус 5=0,x в квадрате минус 4x плюс 3=0, конец системы . x больше или равно 0, конец совокупности . система выражений совокупность выражений x в квадрате плюс 4x минус 5=0,x в квадрате плюс 4x плюс 3=0, конец системы . x меньше 0 конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка =0, конец системы . x больше или равно 0, конец совокупности . система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0, конец системы . x меньше 0 конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус 5,x= минус 3,x= минус 1,x=1,x=3,x=5. конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 4|x| минус 5=0,x в квадрате минус 4|x| плюс 3=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений совокупность выражений x в квадрате минус 4x минус 5=0,x в квадрате минус 4x плюс 3=0, конец системы . x больше или равно 0, конец совокупности . система выражений совокупность выражений x в квадрате плюс 4x минус 5=0,x в квадрате плюс 4x плюс 3=0, конец системы . x меньше 0 конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка =0, конец системы . x больше или равно 0, конец совокупности . система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0, конец системы . x меньше 0 конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус 5,x= минус 3,x= минус 1,x=1,x=3,x=5. конец совокупности .$

Таким образом, всего 6 корней, а корень $x=5$   — наибольший. Тогда ответом на задачу будет число 30.

Ответ: 30.

Ответ: 30

1147

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2018

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.3\. Квадратные уравнения, 3\.15\. Уравнения указанных типов, содержащие модуль

2.  Задание № 116 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.3\. Квадратные уравнения, 3\.15\. Уравнения указанных типов, содержащие модуль

Уравнения с модулем

Найдите сумму корней уравнения

Решение. Решим уравнение при условии $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0$ :

$равносильно совокупность выражений x=1,x=6, система выражений 1 меньше x меньше 6,|x минус 3|=1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=1,x=6,x=4,x=2. конец совокупности .$

Сумма корней равна 1 + 6 + 4 + 2 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

116

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.3\. Квадратные уравнения, 3\.15\. Уравнения указанных типов, содержащие модуль

3.  Задание № 207 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2014

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 3\.9\. Рациональные уравнения, 3\.15\. Уравнения указанных типов, содержащие модуль

Методы алгебры: Метод интервалов , Метод рационализации

Уравнения с модулем

Найдите сумму целых решений неравенства $дробь: числитель: |4x минус 10| минус |2x минус 14|, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Решение. Поскольку знак разности $|x| минус |y|$ совпадает со знаком разности $x в квадрате минус y в квадрате ,$ имеем:

$дробь: числитель: |4x минус 10| минус |2x минус 14|, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 10 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2x минус 14 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 10 минус 2x плюс 14 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 10 плюс 2x минус 14 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x минус 24 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: |4x минус 10| минус |2x минус 14|, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 10 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2x минус 14 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 10 минус 2x плюс 14 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 10 плюс 2x минус 14 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x минус 24 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: |4x минус 10| минус |2x минус 14|, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 10 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2x минус 14 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 10 минус 2x плюс 14 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 10 плюс 2x минус 14 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x минус 24 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Корни числителя $x= минус 2, x=4,$ корни знаменателя $x= минус 3, x=6.$ Поэтому: $минус 3 меньше x меньше или равно минус 2, 4 меньше или равно x меньше 6.$ Целые решения  — числа −2, 4, 5. Их сумма равна 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

207

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2014

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 3\.9\. Рациональные уравнения, 3\.15\. Уравнения указанных типов, содержащие модуль

Методы алгебры: Метод интервалов , Метод рационализации

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1147	30
2	116	13
3	207	7